计算几何之向量的旋转

 矩阵真的好优美，好多在数学中那些乘乘加加的操作，其本质都是矩阵。这些操作，往往都是把事物进行分解，对每一个基量进行操作，最后再把这些操作整合起来。

向量旋转，这个几何中的基本操作，可以相当优美的用矩阵来操作。究其原因，也是因为向量是多维的。用矩阵来操作，正是把向量分解开来，分别旋转，最后再进行整合。

看下面的矩阵

这个是二维向量的旋转矩阵，它可以将一个向量逆时针旋转一个角度。

将其变形，变会得到二维向量的顺时针旋转的形式：

这里要注意一种特殊的情况，就是当角度为90度的时候，sin和cos的结果只有1, 0, -1三种可能性。所以这个矩阵可以改写成特殊的形式，其意义在于用这样的旋转操作，不会产生精度问题。sin和cos的运算的精度是比较低的，能少用则尽量少用。在计算几何中的向量旋转操作，大部分都可以通过变形，只用到旋转90度，从而避免精度问题。

再来说一点就是，这些旋转矩阵都有一些特点，最明显的莫过于他们的行列式的值都是1。所以在验证正确性的时候，可以用这个操作。也正因为有这一个性质，所以向量才只会进行旋转，不会进行缩放。

三维向量的旋转矩阵：

上面三个公式的旋转方向可以看成按右手定则。

来看第三个公式，这个公式是围绕Z轴，把X轴往Y轴方向移动。我们把拇指向上（表示Z轴），手指指向X轴，然后手指自然弯曲方向便是旋转方向。

其它两个公式也是类似。

其实第三个公式，去掉Z轴，就是开头讲的逆时针旋转的公式。

在其它方向上的旋转都可以由这三个矩阵组合而来。

围绕轴u = (ux, uy, uz)来旋转的矩阵代码如下：

double a[3][3] = {
        {SQR(ux) + (1 - SQR(ux)) * c, ux * uy * (1 - c) - uz * s, ux * uz * (1 - c) + uy * s},
        {ux * uy * (1 - c) + uz * s, SQR(uy) + (1 - SQR(uy)) * c, uy * uz * (1 - c) - ux * s},
        {ux * uz * (1 - c) - uy * s, uy * uz * (1 - c) + ux * s, SQR(uz) + (1 - SQR(uz)) * c}
    };

要注意这个ux * ux + uy * uy + uz * uz = 1

有一个比较有意思的问题就是，知道旋转矩阵之后，怎么来确定向量u呢？

我们做如下变形之后，可以得到：

Ru = Iu –> (R – I)u = 0

也就是说我们要找到一个非0的向量，使得他和一个矩阵乘起来得到一个空矩阵。这个问题可以用高斯消元来解决。实际上我们就是要解一个线性方程组。